Matematika Kelas XII

Definisi & Konsep Limit Fungsi Aljabar

Pertemuan 1 • Konsep dasar

Memahami Definisi Limit Fungsi

Limit merupakan konsep dasar dalam kalkulus yang menjelaskan perilaku suatu fungsi saat variabelnya mendekati nilai tertentu, tetapi tidak harus sama dengan nilai tersebut.

Tujuan 1

Menjelaskan konsep intuitif limit fungsi aljabar saat $x \to a$.

Tujuan 2

Membedakan nilai $f(a)$ dengan nilai limit $\lim_{x \to a} f(x)$.

Tujuan 3

Menganalisis syarat keberadaan limit melalui limit kiri dan limit kanan.

Apersepsi & Masalah Kontekstual

Apa Arti "Mendekati"?

Bayangkan sebuah mobil yang sedang pengereman mendekati garis lampu merah.

Pertanyaan Diskusi:

Apakah kecepatan mobil saat bergerak makin dekat ke garis lampu merah sama persis dengan kecepatan ketika mobil sudah berhenti total di titik tersebut?

Dalam matematika, limit berfokus pada kecenderungan nilai di sekitar titik sasaran, bukan apa yang terjadi persis di titik sasaran itu sendiri.

Kelajuan saat $x \to a$

$x \neq a$, namun jarak antara $x$ dan $a$ sangat kecil ($\approx 0$)

Orientasi Masalah

Studi Kasus: Fungsi Berlubang

Diberikan fungsi aljabar: $f(x) = \frac{x^2 - 1}{x - 1}$. Berapakah nilai fungsi ini untuk $x = 1$?

Substitusi Langsung ($x = 1$)

$f(1) = \frac{1^2 - 1}{1 - 1} = \frac{0}{0}$

Bentuk $\frac{0}{0}$ adalah Bentuk Tak Tentu (tidak terdefinisi dalam aritmetika biasa).

Pendekatan Limit ($x \to 1$)

Kita selidiki nilai $f(x)$ saat $x$ sangat dekat dengan $1$ (tapi $x \neq 1$):

Saat $x = 0.999 \implies f(x) = 1.999$
Saat $x = 1.001 \implies f(x) = 2.001$

Ternyata nilai $f(x)$ mendekati angka 2!

Konsep Inti

Limit Kiri vs Limit Kanan

Limit Kiri ($\lim_{x \to a^-} f(x)$)

Nilai yang didekati oleh $f(x)$ ketika $x$ bergerak mendekati $a$ dari sebelah kiri ($x < a$).

Contoh: $x = 0.9, 0.99, 0.999 \to 1^-$

Limit Kanan ($\lim_{x \to a^+} f(x)$)

Nilai yang didekati oleh $f(x)$ ketika $x$ bergerak mendekati $a$ dari sebelah kanan ($x > a$).

Contoh: $x = 1.1, 1.01, 1.001 \to 1^+$

Teorema Utama Keberadaan Limit:

$\lim_{x \to a} f(x) = L \iff \lim_{x \to a^-} f(x) = \lim_{x \to a^+} f(x) = L$

Rangkuman Konseptual

Catatan Penting Guru

  • Limit Bukanlah Nilai Fungsi Saat Itu: $\lim_{x \to a} f(x)$ menggambarkan perilaku di sekitar $x = a$, bukan nilai $f(a)$ itu sendiri.
  • Fungsi Tidak Perlu Terdefinisi di $a$: Walaupun $f(a)$ tidak ada (berlubang), $\lim_{x \to a} f(x)$ bisa tetap ada.
  • Limit Tidak Ada Jika: Limit kiri tidak sama dengan limit kanan ($\lim_{x \to a^-} f(x) \neq \lim_{x \to a^+} f(x)$) atau jika nilainya menuju tak hingga.
Slide 1 dari 5